A星(A*)寻路算法介绍

这篇blog是由iOS Tutorial Team的成员  Johann Fradj发表的,他目前是一位全职的资深iOS开发工程师。他是Hot Apps Factory的创始人,该公司开发了App Cooker。

学习A星寻路算法是如何工作的!

你是否在做一款游戏的时候想创造一些怪兽或者游戏主角,让它们移动到特定的位置,避开墙壁和障碍物呢?

如果是的话,请看这篇教程,我们会展示如何使用A星寻路算法来实现它!

在网上已经有很多篇关于A星寻路算法的文章,但是大部分都是提供给已经了解基本原理的高级开发者的。

本篇教程将从最基本的原理讲起。我们会一步步讲解A星寻路算法,幷配有很多图解和例子。

不管你使用的是什么编程语言或者操作平台,你会发现本篇教程很有帮助,因为它在非编程语言的层面上解释了算法的原理。稍后,会有一篇教程,展示如何在Cocos2D iPhone 游戏中实现A星算法。

现在找下到达一杯咖啡因饮料和美味的零食的最短路径,开始吧!:]

 

一只探路猫

 

让我们想象一下,有一款游戏,游戏中一只猫想要找到获取骨头的路线。

“为什么会有一只猫想要骨头?!”你可能会这么想。在本游戏中, 这是一只狡猾的猫,他想捡起骨头给狗,以防止被咬死!:]

现在想像一下下图中的猫想找到到达骨头的最短路径:

This cat just wants someone to throw him a bone!

不幸的是,猫不能直接从它当前的位置走到骨头的位置,因为有面墙挡住了去路,而且它在游戏中不是一只幽灵猫!

游戏中的猫同样懒惰,它总是想找到最短路径,这样当他回家看望它的女朋友时不会太累:-)

但是我们如何编写一个算法计算出猫要选择的那条路径呢?A星算法拯救了我们!

 

简化搜索区域

 

寻路的第一步是简化成容易控制的搜索区域。

怎么处理要根据游戏来决定了。例如,我们可以将搜索区域划分成像素点,但是这样的划分粒度对于我们这款基于方块的游戏来说太高了(没必要)。

作为代替,我们使用方块(一个正方形)作为寻路算法的单元。其他的形状类型也是可能的(比如三角形或者六边形),但是正方形是最简单并且最适合我们需求的。

像那样去划分,我们的搜索区域可以简单的用一个地图大小的二维数组去表示。所以如果是25*25方块大小的地图,我们的搜索区域将会是一个有625个正方形的数组。如果我们把地图划分成像素点,搜索区域就是一个有640,000个正方形的数组了(一个方块是32*32像素)!

现在让我们基于目前的区域,把区域划分成多个方块来代表搜索空间(在这个简单的例子中,7*6个方块 = 42 个方块):

Dividing the maze into a tile-based search area

 

Open和Closed列表

 

既然我们创建了一个简单的搜索区域,我们来讨论下A星算法的工作原理吧。

除了懒惰之外,我们的猫没有好的记忆力,所以它需要两个列表:

  1. 一个记录下所有被考虑来寻找最短路径的方块(称为open 列表)
  2. 一个记录下不会再被考虑的方块(成为closed列表)

猫首先在closed列表中添加当前位置(我们把这个开始点称为点 “A”)。然后,把所有与它当前位置相邻的可通行小方块添加到open列表中。

下图是猫在某一位置时的情景(绿色代表open列表):
Adding adjacent tiles from the start position to the open list

现在猫需要判断在这些选项中,哪项才是最短路径,但是它要如何去选择呢?

在A星寻路算法中,通过给每一个方块一个和值,该值被称为路径增量。让我们看下它的工作原理!

路径增量

 

我们将会给每个方块一个G+H 和值:

  • G是从开始点A到当前方块的移动量。所以从开始点A到相邻小方块的移动量为1,该值会随着离开始点越来越远而增大。
  • H是从当前方块到目标点(我们把它称为点B,代表骨头!)的移动量估算值。这个常被称为探视,因为我们不确定移动量是多少 – 仅仅是一个估算值。

你也许会对“移动量”感兴趣。在游戏中,这个概念很简单 – 仅仅是方块的数量。

然而,在游戏中你可以对这个值做调整。例如:

  • 如果你允许对角线移动,你可以针对对角线移动把移动量调得大一点。
  • 如果你有不同的地形,你可以将相应的移动量调整得大一点 – 例如针对一块沼泽,水,或者猫女海报:-)

这就是大概的意思 – 现在让我们详细分析下如何计算出G和H值。

关于G值

 

G是从开始点A到达当前方块的移动量(在本游戏中是指方块的数目)。

为了计算出G的值,我们需要从它的前继(上一个方块)获取,然后加1。所以,每个方块的G值代表了从点A到该方块所形成路径的总移动量。

例如,下图展示了两条到达不同骨头的路径,每个方块都标有它的G值:
An illustration of the G variable in the A* Pathfinding Algorithm

关于H值

H值是从当前方块到终点的移动量估算值(在本游戏中是指方块的数目)。

移动量估算值离真实值越接近,最终的路径会更加精确。如果估算值停止作用,很可能生成出来的路径不会是最短的(但是它可能是接近的)。这个题目相对复杂,所以我们不会再本教程中讲解,但是我在教程的末尾提供了一个网络链接,对它做了很好的解释。

为了让它更简单,我们将使用“曼哈顿距离方法”(也叫“曼哈顿长”或者“城市街区距离”),它只是计算出距离点B,剩下的水平和垂直的方块数量,略去了障碍物或者不同陆地类型的数量。

例如,下图展示了使用“城市街区距离”,从不同的开始点到终点,去估算H的值(黑色字):
An illustration of the H variable in the A* pathfinding algorithm with the Manhattan algorithm

A星算法

 

既然你知道如何计算每个方块的和值(我们将它称为F,等于G+H),  我们来看下A星算法的原理。

猫会重复以下步骤来找到最短路径:

  1. 将方块添加到open列表中,该列表有最小的和值。且将这个方块称为S吧。
  2. 将S从open列表移除,然后添加S到closed列表中。
  3. 对于与S相邻的每一块可通行的方块T:
    1. 如果T在closed列表中:不管它。
    2. 如果T不在open列表中:添加它然后计算出它的和值。
    3. 如果T已经在open列表中:当我们使用当前生成的路径到达那里时,检查F 和值是否更小。如果是,更新它的和值和它的前继。

如果你对它的工作原理还有点疑惑,不用担心 – 我们会用例子一步步介绍它的原理!:]

猫的路径

让我们看下我们的懒猫到达骨头的行程例子。

在下图中,我根据以下内容,列出了公式F = G + H 中的每项值:

  • F(方块的和值):左上角
  • G(从A点到方块的移动量):左下角
  • H(从方块到B点的估算移动量): 右下角

同时,箭头指示了到达相应方块的移动方向。

最后,在每一步中,红色方块表示closed列表,绿色方块表示open列表。

好的,我们开始吧!

第一步

第一步,猫会确定相对于开始位置(点A)的相邻方块,计算出他们的F和值,然后把他们添加到open列表中:
A* Example Part 1

你会看到每个方块都列出了H值(有两个是6,一个是4)。我建议根据“城市街区距离”去计算方块的相关值,确保你理解了它的原理。

同时注意F值(在左上角)是G(左下角)值和H(右下脚)值的和。
第二步

在第二步中,猫选择了F和值最小的方块,把它添加到closed列表中,然后检索它的相邻方块的相关数值。
A* Example Part 2

现在你将看到拥有最小增量的是F值为4的方块。猫尝试添加所有相邻的方块到open列表中(然后计算他们的和值),除了猫自身的方块不能添加以外(因为它已经被添加到了closed列表中)或者它是墙壁方块(因为它不能通行)。

注意被添加到open列表的两个新方块,他们的G值都增加了1,因为他们现在离开始点有2个方块远了。你也许需要再计算下“城市街区距离”以确保你理解了每个新方块的H值。
第三步

再次,我们选择了有最小F和值(5)的方块,继续重复之前的步骤:
A* Example Part 3

现在,只有一个可能的方块被添加到open列表中了,因为已经有一个相邻的方块在close列表中,其他两个是墙壁方块。

第四步

现在我们遇到了一个有趣的情况。正如你之前看到的,有4个方块的F和值都为7 – 我们要怎么做呢?!

有几种解决方法可以使用,但是最简单(快速)的方法是一直跟着最近被添加到open列表中的方块。现在继续沿着最近被添加的方块前进。
A* Example Part 4

这次有两个可通过的相邻方块了,我们还是像之前那样计算他们的和值。
第五步

接着我们选择了最小和值(7)的方块,继续重复之前的步骤:
A* Example Part 5

我们越来越接近终点了!

第六步

你现在训练有素了!我打赌你能够猜出下一步是下面这样子了:
A* Example Part 6

我们差不多到终点了,但是这次你看到有两条到达骨头的最短路径提供给我们选择:
Two shortest paths to the bone

在我们的例子中,有两条最短路径:

  • 1-2-3-4-5-6
  • 1-2-3-4-5-7

It doesn’t really matter which of these we choose, it comes down to the actual implementation in code.

选择哪一条其实没关系,现在到了真正用代码实现的时候了。

第七步

让我们从其中一块方块,再重复一遍步骤吧:
A* Example Part 7

啊哈,骨头在open列表中了!
第八步

现在目标方块在open列表中了,算法会把它添加到closed列表中:
A* Example Part 8

然后,算法要做的所有事情就是返回,计算出最终的路径!
A* Example Part 9

一只有远见的猫

在上面的例子中,我们看到当猫在寻找最短路径时,它经常选择更好的方块(那个在它的未来最短路径上的方块)- 好像它是一只有远见的猫!

但是如果猫是盲目的,并且总是选择第一个添加到它的列表上的方块,会发生什么事情?

下图展示了所有在寻找过程中会被使用到的方块。你会看到猫在尝试更多的方块,但是它仍然找到了最短路径(不是之前的那条,而是另一条等价的):
What would happen if the cat wasn't so smart...

图中的红色方块不代表最短路径,它们只是代表在某个时候被选择为“S”的方块。

我建议你看着上面的图,并且尝试过一遍步骤。这次无论你看到哪个相邻的方块,都选择“最坏”的方式去走。你会发现最后还是找到了最短路径!

所以你可以看到跟随一个“错误的”方块是没有问题的,你仍然会在多次重复尝试后找到最短路径。

所以在我们的实现中,我们会按照以下的算法添加方块到open列表中:

  • 相邻的方块会返回这些顺序: 上面/左边/下面/右边。
  • 当所有的方块都有相同的和值后,方块会被添加到open列表中(所以第一个被添加的方块是第一个被猫挑选的)。

下面是从原路返回的示意图:
The cat finding the shortest path, even after some wrong turns

最短的路径是从终点开始,一步步返回到起点构成的(例子:在终点我们可以看到箭头指向右边,所以该方块的前继在它的左边)。